6.1多变量函数的极限与连续

发表于 2025-01-23 更新于 2025-01-24 分类于学习资料阅读次数： 17

多变量函数的极限与连续

平面点集

一些简单的概念：邻域 $B (M, ε)$ 、去心邻域 $B_{-} (M, ε)$

内点、外点、边界点

给定平面子集 $E$ ，，则平面中的点M想对于子集E可以划分为三类：

内点：如果存在 $ε > 0$ ，使得 $B (M, ε) \subset E$ ，则称 $M$ 为 $E$ 的内点. $E$ 的内点都属于 $E$ , $E$ 的所有内点的集合记为 $E^{o}$ .
外点：如果存在 $ε > 0$ ，使得 $B (M, ε) \subset E^{c}$ (指 $E$ 的补集)，则称 $M$ 为 $E$ 的外点，故不属于 $E$ .
边界点：如果存在 $ε > 0$ ，使得 $B (M, ε)$ 中既有 $E$ 中的点，又有 $E^{c}$ 中的点，则称 $M$ 为 $E$ 的边界点. $E$ 的边界点不一定属于 $E$ . $E$ 的所有边界点的集合称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$ . ( $E$ 和 $E^{c}$ 具有相同的边界)

开集、闭集、非开非闭集

开集：如果 $E$ 中的每一个点都是内点，即称 $E$ 为开集.
闭集：如果 $E^{c}$ 为开集，则称 $E$ 为闭集.
非开非闭集：顾名思义，不是开集也不是闭集的点集.

一般规定全平面 $R^{2}$ 为开集，空集既是开集也是闭集.

聚点、孤立点

聚点：设 $E$ 为一个给定的平面子集， $M$ 为平面中的一点. 如果对 $\forall ε > 0, B_{-} (M, ε) \cap E \neq \emptyset$ , 即 $M$ 的任意邻域内都含有异于 $M$ 的 $E$ 中的点，则称 $M$ 为 $E$ 的聚点.

定理：平面非空子集 $E$ 为闭集当且仅当 $E$ 的每一个聚点都属于 $E$ .

虽然闭集包含了其所有聚点，但闭集可以有不是聚点的点，例如： $E = {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} ⩽ 1} \cap {(2, 2)}$ - 孤立点：一般地，设 $M$ 为平面子集 $E$ 中的一点，若存在 $ε > 0$ ，使得 $B (M, ε) \cap E = {M}$ ,则称 $M$ 为 $E$ 的孤立点.

点集中的任意一点要么是其聚点，要么是孤立点.

开集与闭集的条件

$E$ 为开集的充要条件是 $\partial E \cap E = \emptyset$ ;
$E$ 为闭集的充要条件是 $\partial E \subset E$ .

连通、区域、闭区域

连通：如果对于 $E$ 中的任意两点，存在一条包含在 $E$ 中的连接这两个点的平面曲线，则称 $E$ 是连通的.
区域：非空连通开集.
闭区域：一个区域和其边界的并集.

极限、柯西点列

设 ${M_{n}}$ 为平面点列. 如果存在点 $M_{0} \in R^{2}$ , 使得 $lim_{n \to \infty} ρ (M_{n}, M_{0}) = 0$ 即对 $\forall ε > 0, \exists N > 0$ ,当 $n > N$ 时，不等式 $ρ (M_{n}, M_{0}) < ε$ 成立，则称该点列收敛，并称 $M_{0}$ 是点列 ${M_{n}}$ 的极限.

柯西点列：若对 $\forall ε > 0, \exists N > 0$ ,当 $n, m > N$ 时， $ρ (M_{n}, M_{m}) < ε$ ，则称点列 ${M_{n}}$ 为柯西点列

二元函数的极限

二重极限

设 $D \subset R^{2}, f : D \to R$ 为二元函数， $M_{0}$ 为 $D$ 的聚点. 如果存在常数 $a$ ,对 $\forall ε > 0, \exists δ > 0$ ,当 $M \in D$ 且 $0 < ρ (M, M_{0}) < δ$ 时， $| f (M) - a | < ε$ ,则称 $M$ 趋于 $M_{0}$ 时， $f (M)$ 以 $a$ 为极限，记为 $lim_{M \to M_{0}} f (M) = a$

一致连续

设 $f$ 是有界闭集 $D$ 上的连续函数，对 $\forall ε > 0, \exists δ > 0$ ,当 $M_{1}, M_{2} \in D$ 且 $(M_{1}, M_{2}) <$ 时，

$| f (M_{1}) - f (M_{2}) | < ε$

其和连续的区别在于 $| f (M_{1}) - f (M_{2}) |$ 可以趋近于 $\infty$ .

累次极限

这是一个容易和二重极限混淆的概念.

设二元函数 $f (x, y)$ 在 $(x_{,} y_{0})$ 的某一去心邻域内有定义. 如果对任意固定的 $y$ ，极限 $lim_{x \to x_{0}} f (x, y)$ 存在，令 $ϕ (y) = lim_{x \to x_{0}} f (x, y)$ ,它是定义在 $y_{0}$ 附近的函数. 如果 $lim_{y \to y_{0}} ϕ (y)$ 存在，则令

$lim_{y \to y_{0}} lim_{x \to x_{0}} f (x, y) = lim_{y \to y_{0}} ϕ (y),$ 称之为函数 $f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的一个累次极限. 类似地，另一个累次极限为 $lim_{x \to x_{0}} lim_{y \to y_{0}} f (x, y)$

累次极限和重极限之间没有明显的关系.