6.1多变量函数的极限与连续

发表于 2025-01-23 更新于 2025-01-24 分类于学习资料阅读次数：

多变量函数的极限与连续

平面点集

一些简单的概念：邻域$B(M,\varepsilon)$、去心邻域$B_-(M,\varepsilon)$

内点、外点、边界点

给定平面子集$E$，，则平面中的点M想对于子集E可以划分为三类：

内点：如果存在$\varepsilon > 0$，使得$B(M,\varepsilon) \subset E$，则称$M$为$E$的内点. $E$的内点都属于$E$,$E$的所有内点的集合记为$E^o$.
外点：如果存在$\varepsilon > 0$，使得$B(M,\varepsilon) \subset E^c$(指$E$的补集)，则称$M$为$E$的外点，故不属于$E$.
边界点：如果存在$\varepsilon > 0$，使得$B(M,\varepsilon)$中既有$E$中的点，又有$E^c$中的点，则称$M$为$E$的边界点. $E$的边界点不一定属于$E$. $E$的所有边界点的集合称为$E$的边界，记为$\partial E$. ($E$和$E^c$具有相同的边界)

开集、闭集、非开非闭集

开集：如果$E$中的每一个点都是内点，即称$E$为开集.
闭集：如果$E^c$为开集，则称$E$为闭集.
非开非闭集：顾名思义，不是开集也不是闭集的点集.

一般规定全平面$\mathbb{R}^2$为开集，空集既是开集也是闭集.

聚点、孤立点

聚点：设$E$为一个给定的平面子集，$M$为平面中的一点. 如果对$\forall \varepsilon >0, B_-(M,\varepsilon) \cap E \neq \emptyset$, 即$M$的任意邻域内都含有异于$M$的$E$中的点，则称$M$为$E$的聚点.

定理：平面非空子集$E$为闭集当且仅当$E$的每一个聚点都属于$E$.

虽然闭集包含了其所有聚点，但闭集可以有不是聚点的点，例如： \[ E=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \leqslant 1\} \cap \{(2,2) \} \] - 孤立点：一般地，设$M$为平面子集$E$中的一点，若存在$\varepsilon >0$，使得$B(M,\varepsilon) \cap E =\{ M\}$,则称$M$为$E$的孤立点.

点集中的任意一点要么是其聚点，要么是孤立点.

开集与闭集的条件

$E$为开集的充要条件是 $\partial E \cap E = \emptyset$;
$E$为闭集的充要条件是 $\partial E \subset E$.

连通、区域、闭区域

连通：如果对于$E$中的任意两点，存在一条包含在$E$中的连接这两个点的平面曲线，则称$E$是连通的.
区域：非空连通开集.
闭区域：一个区域和其边界的并集.

极限、柯西点列

设$\{ M_n \}$为平面点列. 如果存在点$M_0 \in \mathbb{R}^2$, 使得 \[ \lim_{n \rightarrow \infty } \rho (M_n,M_0)=0 \] 即对$\forall \varepsilon >0, \exists N>0$,当$n>N$时，不等式$\rho (M_n,M_0)< \varepsilon$成立，则称该点列收敛，并称$M_0$是点列$\{ M_n \}$的极限.

柯西点列：若对$\forall \varepsilon >0, \exists N>0$,当$n,m>N$时，$\rho(M_n,M_m)< \varepsilon$，则称点列$\{ M_n \}$为柯西点列

二元函数的极限

二重极限

设$D \subset \mathbb{R}^2, f: D \rightarrow \mathbb{R}$为二元函数，$M_0$为$D$的聚点. 如果存在常数$a$,对$\forall \varepsilon >0, \exists \delta>0$,当$M \in D$且$0<\rho (M,M_0)<\delta$时，$|f(M)-a|<\varepsilon$,则称$M$趋于$M_0$时，$f(M)$以$a$为极限，记为 \[ \lim_{M \rightarrow M_0} f(M)=a \]

一致连续

设$f$是有界闭集$D$上的连续函数，对$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0$,当$M_1,M_2\in D$且$(M_1,M_2) < $时，

\[ |f(M_1)-f(M_2)|< \varepsilon \]

其和连续的区别在于$|f(M_1)-f(M_2)|$可以趋近于$\infty$.

累次极限

这是一个容易和二重极限混淆的概念.

设二元函数$f(x,y)$在$(x_,y_0)$的某一去心邻域内有定义. 如果对任意固定的$y$，极限$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x,y)$存在，令$\phi (y)=\lim_{x \rightarrow x_0}f(x,y)$,它是定义在$y_0$附近的函数. 如果$\lim_{y \rightarrow y_0} \phi(y)$存在，则令

\[ \lim_{y \rightarrow y_0} \lim_{x \rightarrow x_0}f(x,y)=\lim_{y \rightarrow y_0}\phi (y), \] 称之为函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的一个累次极限. 类似地，另一个累次极限为 \[ \lim_{x \rightarrow x_0} \lim_{y \rightarrow y_0}f(x,y) \]

累次极限和重极限之间没有明显的关系.